Báo cáo chuyên đề Giúp học sinh học tốt các bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong hình học lớp 7

Nội dung tài liệu: Báo cáo chuyên đề Giúp học sinh học tốt các bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong hình học lớp 7

1. Báo cáo chuyên đề tháng 3 Chuyên đề: GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC TRONG HÌNH HỌC LỚP 7 Người báo cáo : Hồ Thị Thúy 1. Lý do chọnđề tài: Hiện nay, tình trạng học sinh học yếu môn toán nói chung và môn hình học nói riêng ở trường THCS còn khá phổ biến, học sinh chưa hứng thú học tập, kĩ năng giải toán hình học còn hạn chế. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy để đạt được kết quả tốt và hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh có tầm quan trọng rất lớn. Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS.Đối với học sinh, việc giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn Toán. Do vậy, rèn kĩ năng giải toán cho học sinh là cần nhất.Giải toán hình học là hình thức tốt để phát triển tư duy, óc sáng tạo, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng phân tích, suy luận tạo điều kiện để học sinh học tốt phân môn Hình học. Trong chương trình hình học của THCS thì các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn đòi hỏi giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán. Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự tìm được phương pháp chứng minh, tiến tới có được phương pháp học tập phân môn hình học. Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm ban đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để hình thành kiến thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối quan hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7 học sinh bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau, Với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết cách chứng minh như thế nào và bắt đầu từđâu để tìm ra hướng giải bài toán. Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp thu được kiến thức hình học ở các lớp trên. Do vậy, vai trò của giáo viên giảng dạy lúc này là rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách 1
2. chứng minh bài toán hình học, hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải. Từ đó hình thành phương pháp học toán chohọc sinh. Vì vậy tôi chọn đề tài này để đi sâu vào nghiên cứu tìm ra cách“Giúp học sinh học tốt bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong hình học lớp 7” 2 . Một số bài toán minh hoạ. Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM vuông góc với BC. Bước 1. Vẽ hình ghi GT , KL (hình 1) A GT ABC; AB = AC M là trung điểm BC KL AM  BC B C Bước 2. Phân tích tìm lời giải. M Chứng minh : AM  BC Hình 1  Biết : + =180°  Tìm cách c/m: =  Ta c/m : ABM = ACM  Biết : AB = AC (GT) BM = CM (GT) AM cạnh chung Bước 3. Trình bày lời giải . Xét ABM và ACM có; AB = AC (gt) BM = CM (gt) 2
3. AM cạnh chung Do đó ABM = ACM(c.c.c) = (hai góc tương ứng) mà: + =180° (tính chất hai góc kề bù) 180° = = 90° Hay AM  BC. 2 Bước 4 : Khai thác bài toán :GV yêu cầu HS chứngs minh chứng minh a) AM là tia phân giác của góc BAC. b) AM vuông góc với BC. Ở bài toán trên nếu không cho M là trung điểm của BC thì yêu cầu chứng minh = . Ta có bài toán : Cho ABC có AB=AC. Chứng minh rằng : = GV hướng dẫn HS : Có thể vẽ trung điểm M của cạnh BC hay vẽ AM vuông góc với BC. Chứng minh tương tự. Bài 2. Cho tam giác ABC và tam giác ABD biết: AB = BC= CA; AD = BD (C và D nằm khác phía với AB). Chứng minh rằng: CAD= CBD Bước 1. Vẽ hình ghi GT và KL. (hình 2) A ABC, ABD D GT AB = BC = CA; AD = BD. B C KL CAD= CBD Hình 2 Bước 2. Phân tích tìm lời giải. (phân tích đi lên) Yêu cầu chứng minh : CAD= CBD  Tìm cách CM: CAD = CBD  Từ hình vẽ và GT biết : AD = BD (GT) CA = CB (GT) DC cạnh chung Bước 3. Trình bày lời giải: 3
4. Xét CAD và CBD có: AD = BD (GT) CA = CB (GT ) DC cạnh chung Do đó CAD = CBD(c.c.c) CAD= CBD (Cặp góc tương ứng) Bước 4. Khai thác mở rộng. Dùng thước đo góc hãy đo các góc của tam giác ABC, có nhận xét gì? Bài 3. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán kính BA, chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC). Chứng minh rằng : AD // BC. Bước 1: Vẽ hình ghi GT và KL (hình 3). A D ∆ABC GT Cung tròn(A;BC) cắt cung tròn (C;AB) tại D(D và B khác phía) B C KL AD // BC Hình 3 Bước 2: Phân tích tìm lời giải. Chứng minh : AD // BC  Tìm cách chứng minh : =  Chứng minh: ∆ADC = ∆CBA  Theo hình vẽ và GT biết: AD = CB (gt); DC = AB (gt) ; AC cạnh chung Bước 3. Trình bày lời giải. Xét ∆ADC và ∆CBA có: AD = CB(GT) DC = AB(GT) AC cạnh chung Do đó ∆ADC = ∆CBA (c.c.c) = (cặp góc tương ứng) 4
5. AD // BC vì có hai góc so le trong bằng nhau. Bước 4. Khai thác mở rộng. - AB có vị trí như thế nào với CD ? Bài 4: Cho góc xOy khác góc bẹt . Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD . Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC . Chứng minh rằng: a, CB = AD b, IA = IC; IB = ID c, Tia OI là tia phân giác góc xOy. Bước 1. Vẽ hình ghi GT và KL(hình 4). ; A,B Ox GT C,D Oy; OA = OC;OB = OD a, CB = AD KL b, IA = IC; IB = ID ˆ ˆ c, O1 O2 Bước 2. Phân tích tìm lời giải. Hình 4 a, Chứng minh : CB = AD  Tìm cách CM: ∆OAD = ∆OCB  Từ hình vẽ và GT biết : OA = OC (gt); chung; OD = OB(GT) b, Chứng minh : IA = IC; IB = ID  Tìm cách chứng minh: ∆AIB = ∆CID  Biết : Bˆ Dˆ ; AB =CD ˆ ˆ Chứng minh thêm : A2 C2 ˆ ˆ c, Chứng minh : O1 O2  5
6. ∆OAI = ∆OCI  Biết : OA = OC(gt) OI cạnh chung IA = IC (chứng minh trên) Bước 3. Trình bày lời giải. a, Xét ∆OAD và ∆OCB có : OA = OC(GT) ˆ O chung OD = OB(GT) ∆OAD = ∆OCB(c.g.c) AD = CB(cặp cạnh tương ứng) b, ∆OAD = ∆OCB(chứng minh trên) ˆ ˆ ˆ ˆ B D (cặp góc tương ứng) và A1 C1 (cặp góc tương ứng) Mà kề bù : ; kề bù = 1 2 1 2 1 2 Có: OB = OD (GT) OA = OC(GT) OB – OA = OD – OC hay AB = CD ˆ ˆ ˆ ˆ Vậy : ∆IAB = ∆ICD(g.c.g) . Vì có: B D, AB = CD, A2 C2 IA = IC; IB = ID c, Xét ∆OAI và ∆OCI có: OA = OC (GTt) OI cạnh chung IA = IC (chứng minh trên) ˆ ˆ ∆OAI = ∆OCI(c.c.c) O1 O2 (cặp góc tương ứng) Bài 5. Cho tam giác ABC có : AB = AC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. a, Chứng minh ∆ABM = ∆DCM. b, Chứng minh AB // DC. 6
7. c, Chứng minh AM  BC. A Bước 1. Vẽ hình ghi GT và KL (hình 5). ∆ABC : AB = AC M BC ; BM = CM 1 M GT D tia đối của tia MA B C 2 AM = MD a, ∆ABM = ∆DCM. KL b, AB // DC. c, AM  BC. D Bước 2. Phân tích tìm lời giải . Hình 5 a, Chứng minh : ∆ABM = ∆DCM  Từ hình vẽ và GT biết : AM = DM(GT) BM = CM(GT) = (đối đỉnh) 1 2 b, Chứng minh : AB // DC  Tìm cách chứng minh : =  Theo chứng minh trên biết : ∆ABM = ∆DCM c, Chứng minh AM  BC  Tìm cách chứng minh: = 90° hoặc = 90°  Theo hình vẽ biết : + = 180° Cần chứng minh thêm : =  Tìm cách chứng minh: ∆ABM = ∆ACM  Hình vẽ và GT biết : AB = AC(GT) 7
8. MB = MC(GT) AM cạnh chung Bước 3. Trình bày lời giải . a, Xét ∆ABM và ∆DCM có : AM = DM(GT) BM = CM(GT) Mˆ Mˆ 1 2 (đối đỉnh) ∆ABM = ∆DCM (c.g.c) b, Ta có : ∆ABM = ∆DCM (chứng minh trên) = (cặp góc tương ứng) mà và là hai góc so le trong AB // DC (theo dấu hiệu nhận biết hai đ- ường thẳng song song) c, Ta có : ∆ABM = ∆ACM (c.c.c): Vì có : AB = AC(GT); AM cạnh chung; BM = CM (GT) = (hai góc tương ứng) mà: + = 180° (hai góc kề bù) 180°  = 2 = 90° AM BC. Bước 4. Khai thác mở rộng? Nếu tam giác ABC có AB<AC thì ∆ABM có bằng ∆DCM, AB có song song với DC nữa không, AM có vuông góc với BC nữa không? Bài 6: Chứng minh định lý: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau. 8
9. Bước 1. Vẽ hình ghi GT và KL(hình 6). A ∆ABC : AB = AC GT AE = EC F E AF = FB C B KL BE = CF Bước 2. Phân tích tìm lời giải. Hình 6 Chứng minh: BE = CF  Tìm cách chứng minh ∆ABE = ∆ACF ( Aˆ chung)  Theo hình vẽ và GT biết : AB = AC (GT); AC AE EC 2  AE AF AB AF FB 2  Bước 3.Trình bày lời giải. Xét ∆ABE và ∆ACF có : AB = AC (GT) Aˆ chung AC AE EC 2  AE AF AB AF FB 2  Vậy ∆ABE = ∆ACF(c.g.c) BE = AF (cặp cạnh tương ứng) Bước 4. Khai thác mở rộng. 1. Tìm cách chứng minh khác ? 2. Có kết luận gì về vị trí đoạn thẳng FE và BC ? 3. Một số bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi: Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng 9
10. AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC  BE D E Bước 1: Vẽ hình ghi GT, KL 1 A ABC nhọn, 1 I GT AD  AB,AD=AB 2 K 1 AE  AC, AE = AC B KL a) DC = BE; C b) DC  BE Bước 2: Phân tích tìm lời giải • Để CM : DC = BE cần CM :∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) Cần CM : = Có : = 90° + = • Gọi I là giao điểm của AB và CD Để CM : DC  BE cần CM 1 + 2 = 90° Có 1 = 2 ( Hai góc đối đỉnh) và 1 + 2 = 90° Cần CM : 1 = 1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC) Bước 3: Trình bày lời giải a) Ta = 90° + = = Mặt khác AB = AD, AC = AE (GT) Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I là giao điểm của AB và CD Ta có 1 = 2 ( Hai góc đối đỉnh) , 1 + 2 = 90° ( ∆ ADI vuông tại A) và 1 = 1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC) 1 + 2 = 90° DC  BC Bước 4: Khai thác mở rộng bài toán *Khai thác bài 1: 10
11. Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC  BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có bài toán 1.1 Bài 1.1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Từ B kẻ BK  CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ bài 1 chứng minh được DC  BE mà BK  CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA  BC từ đó ta có bài toán 1.2 Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC Để CM : MA  BC ta cần CM: ∆AHC vuông tại H N Để CM : ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác 1 D M vuông bằng ∆AHC E Q Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN 1 A Kẻ DQ  AM tại Q Cần CM : ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  B CM: ND = AC , 1 = , = H  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) C  Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) và = + Để CM : ND = AE 11
12.  CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM: =  + = 180° vì + = 180°  CM : AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H là giao điểm của tia MA và BC . Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN. Kẻ DQ  AM tại Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : AM = MN ; MD = ME (gt) và = ( hai góc đối đỉnh) DN = AE ( = AC) và AE // DN vì 1 = ( cặp góc so le trong ) + = 180° ( cặp góc trong cùng phía) mà + = 180° = Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và = (chứng minh trên) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) 1 = Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , = và 1 = ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA  BC * Khai thác bài toán 1.2 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  BC , ngược lại nếu AH  BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.3 Bài 1.3: Cho tam gi¸c ABC có < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: R D Kẻ DQ  AM tại Q, ER AM tại R . 1 M E 2 Ta có : 푄 = ( Cùng phụ ) Q 1 A AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) 12 B H C
13. DQ = AH (1) + = 푅 ( cùng phụ ) AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ Lại có 1 = 2 ( hai góc đối đỉnh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  DE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi H trung điểm của BC. Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 D M Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ E Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) A A’B = AC ( = AE) và = ′ AC // A’B => + ′=180° (cặp góc trong cùng phía) B H Mà + =180° => = ′ C Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) = ′ ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) A' = ′ mà + ′ = 90° => + = 90° Suy ra HA vuông góc với DE Bài 2 :Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay 13
14. đổi trên cạnh BC * Phân tích tìm lời giải A a) Để CM: DM = EN  CM : ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) M  I C B E Có BD = CE (gt) , = = 90° ( MD, NE  BC) D H N = ( ∆ABC cân tại A) O b)Để CM đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN Cần cm IM = IN  CM: ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC, O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần CM O là điểm cố định Để CM: O là điểm cố định  Cần CM: OC  AC  Cần CM: = = 90°  Cần CM : = và =  Cần CM: ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) • Khai thác bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 2.1: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chứng minh rằng: A a) I là trung điểm của MN b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua M một điểm cố định khi D thay đổi I C Lời giải: B E D H 14 N O
15. Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MD  BC ( D BC) NE  BC ( E BC) Bài 3 :Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE . a) Chứng minh rằng : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? Vì sao? *Phân tích tìm lời giải A 1 a) Gọi H là giao điểm của BC và AI D   Để CM: AI BC Cần cm 1 + 퐾 = 90° H B K Để CM: 1 + 퐾 = 90° C I  Có 퐾 + 퐾 = 90° E Cần CM: : 1 = 퐾 và 퐾 = 퐾  Cần CM: ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK Lời giải : a) Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần CM 1 = 퐾 và 퐾 = 퐾 mà 퐾 + 퐾 = 90° 1 + 퐾 = 90° AI  BC b) Ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK DE BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông 15
16. cân tại A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB >AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: EF 2 a) AH 2 AE 2 ; b) 2 = ― c) BE = CF 4 Lời giải A Áp dụng định lý Py–ta-go cho C tam giác vuông AFH, ta có: E M HF2 + AH2 = AF2 H F Mà : ∆AHE = ∆AHF (g-c-g) B nên HF = 1 EF; AF = AE 2 EF 2 Suy ra: AH 2 AE 2 4 AEH AFH Từ Suy ra 1 = 퐹 Xét CMF có là góc ngoài suy ra 퐹 = ― 퐹 BME có là góc ngoài suy ra = 1 1 vậy 퐹 + = ( ― 퐹)+( 1 ) hay 2 = ― (đpcm). AHE AHF Từ Suy ra AE = AF và 1 = 퐹 Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => BME CMD(g c g) BE CD (1) CDF Lại có: 1 = 퐹 (cặp góc đồng vị) Do đó 퐹 = 퐹 => cân CF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 16
17. Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. *Phân tích tìm lời giải a) Để CM: BE = CD D C  A Cần CM: ABE = ADC (c.g.c) N M Để CM: M, A, N thẳng hàng. K  I C Cần CM: = = 180° B H  x Có + = 180° Cần cm = Để CM: =  Cần CM: ABM = ADN (c.g.c) b) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để CM: BH + CK BC  Cần CM: BH BI;CK CI Vì BI + IC = BC a) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC, khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH.Ở miền ngoài của tam 17
18. giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. N E *Phân tích tìm lời giải F a) Để CM: EM + HC = NH M A  Cần CM: EM = AH và HC = AN + Để CM: EM = AH B cần CM: ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) H C + Để CM: HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để CM: EN // FM  퐹 = 퐹 ( cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để CM: 퐹 = 퐹  Cần CM: ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 :Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại EE. Chứng minh: AE = BC F *Phân tích tìm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE A I để CM :AE = BC cần CM : ∆AFE = ∆ CAB Để CM : ∆AFE = ∆ CAB B M H C  Cần CM : AF = AC (2); 퐹 = = 90° (1); 퐹 = (3) D 18
19. + Để CM (1) : 퐹 = = 90°  Cm: CI // AE vì có FI // AC và = 90° Để CM: CI // AE  Cần CM : ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để CM (2) : AF = AC  CM ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + CM (3) : 퐹 = ( vì cùng phụ ) *Khai thác bài toán : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM (vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = 3 BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân 2 Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF A b) BE = CF AB AC F c) AE 2 B C M * Phân tích tìm lời giải N I a) Để CM: AE = AF E  ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) Hoặc ∆AEF cân tại A ( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao) b) Để CM: BE = CF cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) 19
20. Để CM: BE = CF  ∆ BEI cân tại B  Eµ B· EI  Có B· IE ·ABF ( cặp góc đồng vị ) mà Eµ A· FE vì ∆AEF cân tại A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF AB AC 2 AE = AB + AC hay AE 2 Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH.Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? A *Phân tich tìm hướng giải K I E - Xét TH: < 900 D a) Để CM ∆ ADE cân tại A cần CM : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) B H C b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KCtia phân giác góc ngoài của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do = 90° nên HC là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc : > 900 *Khai thác bài toán : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì D A DE có độ dài nhỏ nhất. 20 E C B H M