Các dạng Toán liên quan đến hình Tam giác Lớp 5 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Các dạng Toán liên quan đến hình Tam giác Lớp 5 (Có đáp án)

1. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH TAM GIÁC 1. Dạng toán nhận biết hình tam giác Các bài toán nhận biết hình thường được nêu dưới hai dạng : - Đọc tên các hình tam giác có được trên một hình vẽ cho trước. - Tính số hình tam giác có được trong trường hợp hình cho trước có rất nhiều đỉnh, điểm. Dạng 1 : Đọc tên các hình tam giác có được trên một hình vẽ cho trước. Bài toán 1 : Đọc tên các hình tam giác có trong hình bên. A D M B C Hướng dẫn học sinh nhìn hình và tìm lời giải : Bài này chúng ta có nhiều cách giải. Chúng ta có thể giải theo cách sau : Đọc tên các hình tam giác đơn, hình tam giác ghép đôi, hình tam giác ghép 3. Bài giải : - Các hình tam giác đơn là : H1, H2, H3. - Các hình ghép đôi là H ( 1 + 2) - Các hình ghép ba là H ( 1+2+3) Dạng 2 : Tính số hình tam giác có được trong trường hợp hình cho trước có rất nhiều đỉnh, điểm. - Nếu tính số hình tam giác có được trong trường hợp hình cho trước có số đỉnh, điểm ít. Ta có thể sử dụng cách đọc tên hình như ở dạng 1 và đếm số hình theo yêu cầu bài toán. - Nếu hình vẽ cho trước có số đỉnh, điểm quá lớn, tổng quát ta thực hiện qua hai bước : + Bước 1: Tính số hình có được theo yêu cầu bài toán ở trường hợp đơn giản.
2. + Bước 2: Chỉ ra quy luật đếm số hình theo yêu cầu bài toán. Từ đó đưa ra quy luật hay công thức tổng quát. Bài toán2 : Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu hình tam giác nhận 3 trong 5 điểm trên làm đỉnh ? Ở bài này chúng ta có thể hướng dẫn học sinh dùng kiến thức của phần cấu tạo số và giải như sau. Bài giải : Có 5 điểm nên có 5 cách chọn điểm thứ nhất. Có 4 cách chọn điểm thứ hai. Có ba cách chọn điểm thứ ba. Mỗi cách chọn được một hình tam giác nên có số hình tam giác là : 5 x 4 x 3 = 60 ( hình) Nhưng như thế mỗi hình tam giác được tính lặp 6 lần. Vậy số hình tam giác thực tế là : 60 : 6 = 10 ( hình) Đáp số : 10 hình tam giác Qua bài toán trên ta có thể rút ra công thức tổng quát cho dạng bài tập này để giúp học sinh tìm ra đáp án nhanh nhất ( trong các bài thi trắc nghiệm). Có n điểm ( n là số tự nhiên, n > 3) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, khi đó số hình tam giác nhận ba điểm bất kì trong n điểm đã cho làm đỉnh là : n × ( n -1 ) × ( n – 2) : 6 2. Dạng toán so sánh các đại lượng cùng loại ( độ dài, diện tích) Các bài toán hình học về so sánh các đại lượng cùng loại ( độ dài, diện tích) cũng rất thường gặp. Các đại lượng trong đề bài toán thường không có số liệu cụ thể và yêu cầu so sanh. Để giải các bài toán này, ta cũng áp dụng các tính chất, các kết luận đã nêu ở trên để giải . Tuy nhiên, nếu một số bài toán cho tỉ lệ gián tiếp thì phải qua bước trung gian để đưa về tỉ lệ cần cho bước giải . Bài toán 3: Cho tam giác ABC, E là điểm chính giữa của cạnh AB, D là điểm chính giữa của cạnh AC. Nối điểm C với E , nối điểm B với D khi đó CE cắt BD tại G. = . Chứng tỏ : SABG SAGC
3. Hướng dẫn học sinh nhìn hình và tìm lời giải : Đối với bài toán này ta không thể chứng minh S ABG = SAGC bằng cách trực tiếp : chứng minh hai đường cao, hai đáy tương ứng của hai tam giác bằng nhau mà phải chứng minh hai diện tích đó bằng nhau qua một diện tích trung gian. Đi từ giả thiết : E là điểm chính giữa của AB A nên BE = EA, ta sẽ gắn 2 đoạn thẳng này làm đáy của hai tam giác nào đó E D có chung chiều cao, từ đó thấy được G 2 cặp tam giác có diện tích bằng nhau : SAEG = SEGB, SAEC = SBEC. Suy ra, SAGC = SBGC B C Tương tự: SABG = SBGC. Suy ra điều cần chứng minh. Bài giải: Ta thấy SABD = SBDC (Vì hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC và đáy AD = DC). Mà : SAGD = SGDC (Vì hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh G xuống đáy AC và đáy AD = DC). . Vậy SABG = SBGC (1). Tương tự , ta cũng chứng minh được : SAGC = SBGC (2). Từ (1) và (2) suy ra : SABG = SAGC Bài toán 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 1 AB. Trên BC 3 lấy điểm E sao cho BE = 1 BC. Nối AE , CD chúng cắt nhau ở M. 4 Tính tỉ số : AE . AM
4. Hướng dẫn học sinh nhìn hình, tìm lời giải A Bài toán này không cho số liệu cụ thể H AE Ta chỉ có thể tìm tỉ số bằng cách D K AM M vận dụng mối quan hệ giữa đáy, chiều cao và C diện tích. B E Ta sẽ gắn hai đoạn thẳng AE và AM làm đáy của hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C. Vấn đề đặt ra : Tìm tỉ số diện tích SAMC ? SAEC 1 1 Đi từ giả thiết: AD = AB nên SADM = SBDM. Suy ra tỉ số hai đường 3 2 1 1 1 cao AH = BK. Suy ra tỉ số hai diện tích S AMC = SMBC .Từ giả thiết: BE = 2 2 4 3 BC nên tỉ số hai diện tích SMEC = SMBC. 4 Từ đó tìm được tỉ số hai diện tích SAMC , tìm được tỉ số AE . SAEC AM Bài giải: Nối BM. 1 1 Ta có:SADM = SBDM (vì hai tam giác này có đáy AD = DB và có 2 2 chiều cao chung hạ từ đỉnh M xuống đáy AB). Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy DM nên suy ra chiều cao AH = 1 BK . 2 Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC và có chiều cao AH = 1 2 BK 1 Vậy : SAMC = SBMC (1) 2
5. Hai tam giác MEC và MBC có chung đáy EC = 3 BC và có chiều cao 4 chung hạ từ đỉnh M xuống BC. 3 Vậy: SMEC = SMBC (2) 4 1 3 2 2 Từ (1) và (2), ta có: SAMC = : = SMEC. Hay SAMC = SAEC 2 4 3 5 Mặt khác hai tam giác này lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AE nên AM = 2 AE. 5 3. Dạng toán về tính toán liên quan đến chu vi, diện tích tam giác với các số đo cụ thể Bài toán 5: Cho hình tam giác ABC có diện tích là 94,24 cm2 . Nếu kéo dài đáy BC (về phía C) một đoạn 4cm thì diện tích tăng thêm 24,8 cm 2 . Tính độ dài cạnh đáy BC ? Hướng dẫn học sinh nhìn hình và tìm lời giải : Để tính độ dài cạnh đáy BC thì phải A biết chiều cao AH. Chiều cao này tính được nhờ diện tích phần mở rộng ACD vì chiều cao này chính là chiều cao của phần mở rộng. B D H C 4 cm Bài giải: Phần mở rộng chính là hình tam giác ACD có đáy CD và chiều cao AH. Vậy, chiều cao AH là : 24,8 x 2 : 4 = 12,4 ( cm) Chiều cao AH chính là chiều cao của hình tam giác ABC. Vậy đáy BC dài là : 94,24 x 2 : 12,4 = 15,2 ( cm) Đáp số : 15,2 cm
6. Bài toán 6: Một mảnh đất hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB dài 40 m, cạnh AC dài 80m. Để mở rộng giao thông người ta đắp một con đường rộng 4m chạy dọc theo cạnh AB. Tính diện tích còn lại của mảnh đất ? Hướng dẫn học sinh nhìn hình B và tìm lời giải : D Diện tích còn lại của mảnh đất 40 m chính là diện tích hình tam giác vuông DEC. Tính diện tích hình tam giác này, phải tính chiều cao DE. C Chiều cao DE tính được nếu biết A E diện tích hình tam giác DAC. Diện 80 m tích hình tam giác ADC bằng diện tích hình tam giác ABC trừ đi diện tích hình tam giác BAD. Bài giải: Diện tích mảnh đất hình tam giác vuông ABC là : 40 x 80 : 2 = 1600 ( m2) Diện tích mảnh đất hình tam giác BAD là : 40 x 4 : 2 = 80 ( m2) Diện tích mảnh đất hình tam giác DAC là : 1 600 – 80 = 1520 ( m2) Chiều cao DE của mảnh đất là : 1520 x 2 : 80 = 38 ( m) Diện tích còn lại của mảnh đất là : ( 80 – 4) x 38 : 2 = 1444 ( m2) Đáp số : 1444 m2 Bài toán 7: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 9m. Trên BC lấy 1 điểm D với BD = 6cm. Nối A với D. Trên AD lấy 1 điểm E bất kì. Nối E với B, E với C. a)So sánh diện tích hai tam giác AEB và AEC
7. b)Tính chiều cao EK của tam giác EBD biết chiều cao AH của tam giác ABC là 7cm và E là điểm giữa của AD. A E B H K D C Bài giải: a) Hai tam giác ABD và ADC có: Đáy BD = 2 DC (vì đầu bài cho BC = 9cm, BD = 6cm nên DC = 9 - 6 = 3cm), có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC. Vậy: SABD = 2 SADC Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy AD nên suy ra chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD phải gấp đôi chiều cao hạ từ đỉnh C xuống dáy AD. SAEB = 2 SAEC (vì 2 tam giác này có chung đáy AE và có chiều cao hạ từ đỉnh B xuống AE gấp đôi chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AE như chứng minh trên) b) Hai tam giác EBD và ABD có: Đáy ED = 1 AD (vì E là điểm chính 2 1 giữa của AD) .Chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD. Vậy: S EBD = 2 SABD Mặt khác 2 tam giác này lại có chung đáy BD nên suy ra chiều cao EK = 1 AH. 2 Vậy : EK = 7 : 2 =3,5(m) Đáp số : a)SAEB = 2 SAEC b) EK = 3,5m 4. Dạng toán vẽ hình Bài toán 8 Cho hình tam giác ABC . Hãy vẽ đoạn thẳng AE ( E nằm trên BC) sao cho AE chia hình tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hướng dẫn học sinh nhìn hình và tìm lời giải :
8. AE chia hình tam giác ABC thành 2 hình tam giác ABE và ACE. Hai hình tam giác này có diện tích bằng nhau, lại có chiều cao đều bằng nhau bằngchiều cao hình tam giác ABC. Từ đó suy ra cạnh đấy BE = CE. Bài giải: Trên BC lấy trung điểm E. Nối A với E, đoạn thẳng AE chia hình tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. A B E C Thật vậy : SABE = sACE ( vì có đáy BE = EC và chúng chiều cao hạ từ A xuống đáy) Vậy hình tam giác ABC được chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Trong phạm vi của đề tài chúng tôi chỉ đưa ra một số dạng toán liên quan đến tam giác như trên, ngoài ra còn rất nhiều dạng toán liên quan đến hình tam giác như dạng toán cắt ghép hình, dạng toán xếp hình... 5. Một số bài tập tự luyện Câu 1: Diện tích một tấm bìa hình chữ nhật là 604,64 cm2 và bằng 4/3 diện tích một hình tam giác. Tính cạnh đáy tấm bìa hình tam giác đó, biết chiều cao tấm bìa là 24cm. Câu 2: Một mảnh đất hình tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông là 62cm. Cạnh góc vuông này gấp rưỡi cạnh góc vuông kia. Tính diện tích mảnh đất đó. Câu 3: Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng 3/4 cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40cm. Câu 4. Một thửa vườn hình tam giác vuông ABC vuông ở A. Cạnh AC lớn hơn cạnh AB 30m. Cạnh BC dài 150m. a). Tính độ dài cạnh AB và AC. Biết chu vi thửa vườn là 360m. b) Tính diện tích thửa vườn đó. c) Ở giữa vườn người ta đào một ao cá hình vuông chu vi 100m. Tính diện tích còn lại để trồng trọt. Câu 5. Một miếng đất hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 44m và bằng 4/3 cạnh góc vuông kia. Trên miếng đất này, người ta xây một bồn hoa hình vuông chu vi 12m. Tính diện tích miếng đất còn lại.
9. Câu 6. Một miếng đất hình tam giác có diện tích gấp 2 lần diện tích một hình vuông có cạnh 60m. Chiều cao là 180m. Tính cạnh đáy miếng đất? Câu 7. Một hình tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông là 88m và cạnh góc vuông này bằng 0,6 lần cạnh góc vuông kia. Trên thửa ruộng này người ta trồng lúa, trung bình cứ 100m2 thu được 70kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng, người ta thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc? Câu 8. Người ta xây một bồn hoa hình tam giác cạnh đáy 6m và chiều cao 3,5m ở giữa một cái sân hình vuông có chu vi 64m. Tính diện tích sân còn lại sau khi làm bồn hoa? Câu 9. Một hình tam giác vẽ theo tỉ lệ xích có diện tích 30dm2. Tính cạnh đáy hình tam giác biết chiều cao thực sự của nó là 36m. Câu 10. Một hình tam giác có diện tích gấp 3 lần diện tích một hình chữ nhật có chiều dài 42 dm chiều rộng 24dm. Tính chiều cao của hình tam giác, biết cạnh đáy tam giác là 96dm. Câu 11. Một hình tam giác có đáy là 0,8cm. Chiều cao bằng 7/4 đáy. Tính diện tích hình tam giác. Câu 12. Một miếng đất hình vuông có cạnh 18m và một miếng đất hình tam giác có chiều cao 12m. Biết rằng hai miếng đất có diện tích bằng nhau. Hãy tính cạnh đáy miếng đất hình tam giác đó. Câu 13. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 24m và hơn chiều rộng 6m. Ở giữa miếng đất, người ta làm một bồn hoa hình tam giác có chiều cao 7,5m và bằng 3/5 cạnh đáy. Tính: a). Diện tích bồn hoa. b). Diện tích miếng đất còn lại. Câu 14. Một miếng vườn hình tam giác có đáy bằng 3/5 chiều cao và kém chiều cao là 40m. a). Tính diện tích miếng vườn đó. b). Người ta trồng tất cả 156 cây vừa cam vừa chanh trên miếng vườn, số cam nhiều hơn số chanh 18 cây. Tính số cây mỗi loại người ta trồng trong vườn. Câu 15. Một miếng đất hình tam giác có cạnh đáy dài 180m và diện tích bằng diện tích một hình vuông chu vi 240m. Tính chiều cao miếng đất hình tam giác. Câu 16. Một hình tam giác có cạnh đáy là 20m và diện tích bằng diện tích bằng diện tích một hình chữ nhật chiều dài 16,5m và chiều rộng 8m. Tính chiều cao hình tam giác. Câu 17. Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có chu vi 237,6cm. Cạnh AB dài hơn cạnh AC 19,8dm. Cạnh BC dài 99dm. Tính diện tích tam giác vuông ABC? Câu 18. Một cái sân hình chữ nhật có chu vi 50m, chiều dài hơn chiều rộng 10m. Người ta đào một cái ao hình tam giác có cạnh đáy 5,2m và chiều cao 4,9m. Tính diện tích miếng đất còn lại. Câu 19. Một hình tam giác có diện tích 120cm2. Nếu kéo dài đáy thêm 3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 30cm2. Tính cạnh đáy hình tam giác.
10. Câu 20. Một hình tam giác có đáy 20,5m. Nếu giảm đáy 4,7m thì diện tích sẽ giảm 35,72m2. Tính diện tích tam giác lúc đầu? Câu 21. Một miếng đất hình tam giác có hiệu giữa đáy và chiều cao là 10,5m. Tính diện tích miếng đất đó, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 3,6m thì diện tích miếng đất sẽ tăng thêm 79,2m2. Câu 22. Một miếng vườn hình tam giác có đỉnh A và đáy BC dài 45m. Nếu kéo dài cạnh đáy BC thêm một đoạn CD dài 15m thì diện tích sẽ tăng thêm 225m2. a) Tính diện tích miếng vườn đó bằng ha. b) Người ta trồng rau trên miếng vườn đó, cứ 300m2 thì thu được 35,6kg rau. Tính khối lượng rau thu được trên miếng vườn đó. Câu 23. Một miếng đất hình tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông là 88m. Nếu tăng thêm 3,4m ở một cạnh góc vuông thì diện tích sẽ tăng thêm 66,3m2. Tính số đo cạnh góc vuông còn lại. Câu 24. Một hình tam giác có tổng cạnh đáy và chiều cao 30,5cm. Nếu giảm đáy đi 2,3cm thì diện tích sẽ giảm 13,8cm2. Tính diện tích hình tam giác lúc đầu? Câu 25. Một đám ruộng hình tam giác có diện tích 810m2. Nếu giảm cạnh đáy 3,6m thì diện tích sẽ bị giảm 64,8m2. a). Tính cạnh đáy ban đầu của đám ruộng đó. b). Trung bình người ta trồng lúa cứ 50m2 thu được 32,5kg thóc . Tính khối lượng thóc thu được trên cả thửa ruộng là bao nhiêu tạ?