Đề thi chọn học sinh giỏi Trung học cơ sở môn Toán cấp Huyện Lớp 6,7,8 - Năm học 2016-2017 PGD & ĐT Huyện Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi Trung học cơ sở môn Toán cấp Huyện Lớp 6,7,8 - Năm học 2016-2017 PGD & ĐT Huyện Nga Sơn (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC: 2016-2017 Mụn thi: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 04/04/2017 Cõu 1. (4 điểm) 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Cho biểu thức M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 a 1 4a a) Rỳt gọn M b) Tỡm a để M 0 c) Tỡm giỏ trị của a để biểu thức M đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 2. (5 điểm) 1) Giải cỏc phương trỡnh sau: x 2 x 4 x 6 x 8 a) 98 96 94 92 b) x6 7x3 8 0 2) Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm 1 x x 2 2 x m 2 x m x m m2 x2 3) Tỡm a,bsao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Cõu 3. (4 điểm) 1) Cho x y z 1 và x3 y3 z3 1.Tớnh A x2015 y2015 z2015 2) Một người dự định đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 30km / h,nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15phỳt, do đú phải tăng vận tốc thờm 10km / h để đến B đỳng giờ đó định. Tớnh quóng đường AB ? Cõu 4. (5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O,M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B,C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM a) Chứng minh OEM vuụng cõn b) Chứng minh : ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M ,H thẳng hàng. Cõu 5. (2 điểm) Cho số thực dương a,b,cthỏa món a b c 2016 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 thức: P 2015 a 2016 b 2017 c
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. (2 điểm) a) Điều kiện: a 0;a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta cú: M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 a 1 4a 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 . a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4a 4a . a3 1 a2 4 a2 4 b) M 0 4a 0 a 0 Kết hợp với điều kiện suy ra M 0khi a 0 và a 1 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 c) Ta cú: M 1 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 Vỡ 0 với mọi a nờn 1 1với mọi a a2 4 a2 4 a 2 2 Dấu " "xảy ra khi 0 a 2 a2 4 Vậy MaxM 1khi a 2. Cõu 2. 1) a) Ta cú: x 2 x 4 x 6 x 8 98 96 94 92 x 2 x 4 x 6 x 8 1 1 1 1 98 96 94 92 1 1 1 1 x 100 . 0 98 96 94 92 1 1 1 1 Vỡ 0 98 96 94 92 Do đú: x 100 0 x 100 Vậy phương trỡnh cú nghiệm : x 100
3. b) Ta cú: x6 7x3 8 0 x3 1 x3 8 0 x 1 x2 x 1 x 2 x2 2x 4 0 * 2 2 1 3 2 2 Do x x 1 x 0 và x 2x 4 x 1 3 0 với mọi x 2 4 Nờn * x 1 x 2 0 x 1;2 1 x x 2 2 x m 2 2) (1) x m x m m2 x2 ĐKXĐ: x m 0 và x m 0 x m 1 x x m x 2 x m 2 2 x m 2m 1 x m 2 * 1 3 +Nếu 2m 1 0 m ta cú: * 0x (vụ nghiệm) 2 2 1 m 2 +Nếu m ta cú * x 2 2m 1 - Xột x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 2 2 2 1 3 2m 2m 2 0 m m 1 0 m 0 2 4 (Khụng xảy ra vỡ vế trỏi luụn dương) Xột x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 m2 1 m 1 1 Vậy phương trỡnh vụ nghiệm khi m hoặc m 1 2 3) Ta cú: g(x) x2 x 2 x 1 x 2 Vỡ f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Nờn tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g(x).q(x) ax3 bx2 10x 4 x 2 . x 1 q(x) Với x 1 a b 6 0 b a 6 1
4. Với x 2 2a b 6 0 2 Thay 1 vào 2 ta cú: a 4và b 2 Cõu 3. 1) Từ x y z 1 x y z 3 1 Mà x3 y3 z3 1 x y z 3 x3 y3 z3 0 x y z 3 z3 x3 y3 0 x y z z x y z 2 x y z z z2 x y x2 xy y2 0 x y x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz xz yz z2 z2 x2 xy y2 0 x y 3z2 3xy 3yz 3xz 0 x y 3 y z x z 0 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z *Nếu x y z 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu y z x 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu x z y 1 A x2015 y2015 z2015 1 2) Gọi x km là độ dài quóng đường AB. ĐK: x 0 x Thời gian dự kiến đi hết quóng đường AB: (giờ) 30 Quóng đường đi được sau 1 giờ: 30(km) Quóng đường cũn lại : x 30 km x 30 Thời gian đi quóng đường cũn lại: (giờ) 40 x 1 x 30 Theo bài ta cú phương trỡnh: 1 30 4 40 4x 30.5 3. x 30 x 60(thỏa món) Vậy quóng đường AB là 60km.
5. Cõu 4. A E B O M H' H D C N a) Xột OEB và OMC Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú : OB OC à à 0 Và B1 C1 45 BE CM gt Suy ra OEM OMC(c.g.c) à ả OE OM và O1 O3 ả ả ã 0 Lại cú: O2 O3 BOC 90 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng ả à ã 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE OM OEM vuụng cõn tại O b) Từ giả thiết ABCD là hỡnh vuụng AB CD và AB / /CD AM BM AB / /CD AB / /CN (định lý Ta-let) * MN MC Mà BE CM gt và AB CD AE BM thay vào * AM AE Ta cú: ME / /BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H 'là giao điểm của OM và BN Từ ME / /BN Oã ME Mã H 'B ã 0 ã 0 à Mà OME 45 vỡ OEM vuụng cõn tại O MH 'B 45 C1 OMC : BMH ' g.g
6. OM MC , kết hợp Oã MB Cã MH '(hai gúc đối đỉnh) BM MH OMB : CMH '(c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN Mà CH  BN H BN H  H 'hay 3 điểm O,M ,H thẳng hàng (đpcm) Cõu 5. Ta cú: 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 a x 2016 b y 2017 c z b c 4033 c a 4032 a b 4031 P 2015 a 2016 b 2017 c y z z x x y y x x z y z x y z x y z x z y y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 (Co si) x y x z z y Dấu " " xảy ra khi x y z suy ra a 673,b 672,c 671 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 khi a 673,b 672,c 671