Đề thi Olympic cấp Huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Olympic cấp Huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn thi: Toỏn 8 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1 (5,0 điểm) x2 x x 1 1 2 x2 Cho biểu thức P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P 1 b) Tỡm x để P 2 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P khi x > 1 Cõu 2 (6 điểm) a) Tỡm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 22, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và cũn dư b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn a thỡ a3 5a chia hết cho 6. c) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 Cõu 3 (3,0 điểm) a) Cho a b c 0 và abc 0 , tớnh giỏ trị của biểu thức: 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 a) Cho 2 số a và b thỏa món a 1; b 1. Chứng minh : 1 1 2 1 a 2 1 b 2 1 ab Cõu 4: (6,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuụng cõn. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. ------------------HẾT----------------- Họ và tờn thớ sinh: SBD: (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
2. HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Mụn thi: Toỏn 8 Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu í Đỏp ỏn Điểm 1 ( 4 điểm) x 0 ĐKXĐ : x 1 0,5đ x 1 Khụng cú đk x -1 trừ 0,25đ a 2 2 x x 1 (x 1)(x 1) x 2 x P 2 : 0,5đ đ x 1 x(x 1) x(x 1) x(x 1) x x 1 x2 1 x 2 x2 P 2 : 0,5đ x 1 x(x 1) x x 1 x 1 x x 1 x(x 1) x2 P 2 : 2  0,5đ x 1 x(x 1) x 1 x 1 x 1 1 x2 1 P P với x ĐKXĐ 0,25đ 2 x 1 2 2x2 x 1 0,25đ b 2x2 x 1 0 0,25đ Cõu 1( 5 điểm) 2 2 2x 2x x 1 0 0,25đ đ 2x 1 x 1 0 0,25đ 1 x (TM ĐKXĐ) 2 0,5đ Hoặc x = - 1 ( khụng TM ĐKXĐ) (Nếu khụng loại x = - 1 trừ 0,25 điểm ) 1 1 Vậy P x 0,25đ 2 2 x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 0,25đ x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 2 0,25đ c x 1 x 1 1 1 Vỡ x > 1 nờn x 1 0 và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 đ x 1 0,25đ 1 1 1 số dương x – 1 và ta cú: x 1 2 x 1  2 x 1 x 1 x 1 Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1 x 1  ( x – 1)2 = 1 0,25đ  x – 1 = 1 ( vỡ x – 1 > 0 )  x = 2 ( TM )  Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
3. a Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và cũn dư là ax b . 0.5đ 2 Khi đú: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b đ Theo đề bài, ta cú: f (2) 22 2a b 22 a 3 0.5đ f ( 2) 10 2a b 10 b 16 Do đú: f (x) (x2 4).( 5x) 3x+16 0.5đ Vậy đa thức f(x) cần tỡm cú dạng: f (x) 5x3 23x 16. 0.5đ a3 + 5 a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25đ b = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ 2 * (a-1)a(a+1) là tớch của 3 số nguyờn liờn tiếp nờn tồn tại 1 bội của 2 0,25đ Cõu 2( 6 điểm) đ suy ra chia hết cho 2 * (a-1)a(a+1) là tớch của 3 số nguyờn liờn tiếp nờn tồn tại 1 bội của 3 0,25đ suy ra chia hết cho 3 Vỡ (2;3) = 1 nờn (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 0,25đ * 6a chia hết cho 6 0,25đ Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6 x2 xy 2012x 2013y 2014 0 x2 xy x 2013x 2013y 2013 1 0,5đ x(x y 1) 2013(x y 1) 1 (x 2013)(x y 1) 1 1,0đ c x 2013 1 2 x y 1 1 đ x 2013 1 0,25đ x y 1 1 x 2014 0,25đ y 2014 x 2012 y 2014 CC điểm) Cõu 3(3,0 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5đ a b c (b c) a c (a c) a b (a b) 1 1 1 0,5đ 2bc 2ac 2ab a b c 0 0,5đ 2abc 1 1 2 1 1 1 1 = 0,25đ 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1 ab ab a 2 ab b 2 = 0,25đ (1 a 2 )(1 ab) (1 b 2 )(1 ab) b 2 2 2 2 = a(b a)(1 b ) b(a b)(1 a ) = (b a)(a ab b a b) 0,25đ (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
4. (b a) 2 (ab 1) = 0,5đ (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (b a) 2 (ab 1) Do a 1; b 1 nờn 0 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) 0,25 1 1 2 1 1 2 0 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 b 2 1 ab A E B 1 Hỡnh vẽ 0,5đ 1 2 O 3 M H' H 1 D C N Xột ∆OEB và ∆OMC 0,25đ Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC 0,5đ a à à 0 0,5đ Và B1 C1 45 3 BE = CM ( gt ) 0,25đ Cõu 4( 6 điểm) đ Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 0,25đ à ả 0,5đ OE = OM và O1 O3 ả ả ã 0 0,25đ Lại cú O2 O3 BOC 90 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng ả à ã 0 0,5đ O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O Từ (gt) tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB = CD và AB // CD 0,5đ AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lột) (*) 0,5đ b MN MC 2 Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,5đ đ AM AE Ta cú : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lột) 0,5đ MN EB Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN Oã ME Oã H ' E ( cặp gúc so le trong) Mà Oã ME 450 vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O ã 0 à 0,25đ MH ' B 45 C1 ∆OMC ∆BMH’ (g.g) c : OM MH ' 0,25đ 1 ,kết hợp Oã MB Cã MH ' ( hai gúc đối đỉnh) OB MC đ ∆OMB : ∆CMH’ (c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 0,25đ Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ