Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút không kể giao đề I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi). Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= x 1 2 x 3 2 bằng bao nhiêu? Câu 2: Cho x+ y = 1. Tính giá tri của C = 2(x3+y3) – 3x2 - 3y2 Câu 3: Cho dãy số: 2, 5, 10, 17, 26, 37, .Tìm số hạng thứ 100? x 1 Câu 4: Tìm số nguyên x để biểu thức A = đạt giá tri lớn nhất và giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 2x 2 Câu 5: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa măn 2x2 + 2xy – 3x – y = 5 Câu 6: Tìm a, b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Câu 7: Cho ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Câu 8: Một tam giác có độ dài hai cạnh AC = 3cm và AB = 8cm, góc BAC bằng 60 o. Tính độ dài cạnh BC? Câu 9: Tính diện tích của tam giác ABC biết AB = 6cm, AC = 8cm, độ dài đường trung tuyến AM = 5cm. Câu 10: Một bác nông dân thu hoạch 100 quả dưa hấu có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 quả này có các quả nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các quả dưa nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các quả dưa nặng đúng 1,5 kg. Có ít nhất bao nhiêu quả dưa hấu nặng đúng 1,5 kg? II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: x2 x x 1 1 2 x2 1.Cho biểu thức A 2 : 2 . ( với x 0 ; x 1 ; x -1) x 2x 1 x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi x > 1 2. Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16. Câu 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N. a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng: M· KN 900 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Câu 13: 1 1 4 1. Cho a,b > 0, CMR: + a b a b 2. Cho hai số không âm a và b thoả mãn a2 +b2 a+b . 2 a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 2023 a 1 b 1 ------------------Hết------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh:. . . . . . . . . . .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 I. PHẦN GHI KẾT QUẢ . (10đ) (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi). Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= x 1 2 x 3 2 bằng bao nhiêu? Đáp số: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8, khi x= -1; Câu 2: Cho x+ y = 1. Tính giá tri của C = 2(x3+y3) – 3x2 - 3y2 Đáp số: C= -1 Câu 3: Cho dãy số: 2, 5, 10, 17, 26, 37, .Tìm số hạng thứ 100? Đáp số: 10001 x 1 Câu 4: Tìm số nguyên x để biểu thức A = đạt giá tri lớn nhất và giá trị lớn nhất bằng bao 2x 2 3 nhiêu. Đáp số: x=2;GTLN= 2 Câu 5: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa măn 2x2 + 2xy – 3x – y = 5 Đ Đáp số: x; y (1;6);(0; 5);(2;1);( 1;0) Câu 6: Tìm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Đáp số: a = 2 và b = -8 Câu 7: Cho ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Đáp số: 3 Câu 8: Một tam giác có độ dài hai cạnh AC= 3cm và AB= 8cm, góc BAC bằng 60o. Tính độ dài cạnh BC Đáp số: BC = 7cm. Câu 9: Tính diện tích của tam giác ABC biết AB = 6cm, AC = 8cm, độ dài đường trung tuyến AM =5cm. Đáp số Diện tích tam giác ABC là: 12cm2. Câu 10: Đáp số: 20 quả. II. PHẦN TỰ LUẬN . (10đ) (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) BÀI NỘI DUNG ĐIỂM x2 x x 1 1 2 x2 1. Cho biểu thức P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1 x 0 Câu 11 a) ĐKXĐ: x 1 (4điểm) x 1 x x 1 (x 1)(x 1) x 2 x2 P 2 : x 1 x(x 1) x(x 1) x(x 1) x x 1 x2 1 x 2 x2 P : x 1 2 x(x 1)
3. x x 1 x 1 x x 1 x(x 1) x2 P :  x 1 2 x(x 1) x 1 2 x 1 x 1 x 2 Vậy P = ( với x 0 ; x 1 ; x -1) x 1 x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 b) P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 Vì x > 1 nên x 1 0 và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 1 1 1 1 dương x – 1 và ta có: x 1 2 x 1  2 x 1 x 1 x 1 1 Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = x 1  ( x – 1)2 = 1  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )  x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2 2. Ta có 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5;3x 8 t 5. Ta có PT t 5 t 2 t 5 144 t 2 9 t 3 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 2 t 16 t 4 1 7 -Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= 2 ; x= ; x= 3 3 K A B F Câu 12 (4 điểm) E N D C M a) Vì ABCD là hình vuông AB / /CD AB / /CN,AB / /ND EC AF AD BC mà AF EC FD BE (1) BE FD
4. CM CE Vì AB//CM (2) AB BE 5 AB AF Vì AB//DN (3) DN FD CM AB Từ (1), (2), (3) CM.DN AB2 a 2 AB DN CM AB CM AD b) Theo câu a, ta có: (vìAD BC AB) AB DN BC DN Do đó CMB : DAN (c.g.c) C· MB D· AN (4) Mà D· AN A· ND 900 (Vì DADN vuông tai D) (5) Từ (4), (5) C· MB A· ND 900 Do đó M· KN 900 c) Áp dụng BĐT (x y)2 4xy (Dấu “=” xảy ra khi x=y, ta có: DN CM 2 4DN.CM 4a 2 DN CM 2a DN CM CD 3a (VìCD a) hay MN 3a CE AF CM a Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đó 1 BE FD AB a CE BE hay AF FD Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ dài nhỏ nhất là 3a 1 1 4 1. Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y 2. Tacó a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 (do a2 b2 a b ) Câu 13 (2 điểm) 2 2 1 1 4 Do đó A 2023 2 2023 2 2024 a 1 b 1 a 1 b 1 Kết luận: GTLN của A là 2024, đạt được khi a b 1.